Σε μία κατσαρόλα λιώνουμε το βούτυρο και σοτάρουμε, σε μέτρια φωτιά, το κρεμμύδι και το καρότο, μέχρι να μαλακώσουν, περίπου 5 λεπτά. Προσθέτουμε το σκόρδο, περασμένο από την πρέσα, και το μπούκοβο και ανακατεύουμε για 1 λεπτό. Στη συνέχεια, προσθέτουμε το ζωμό κότας και τις πατάτες και αφήνουμε να σιγοβράσουν, μέχρι να μαλακώσουν οι πατάτες, 10 με 12 λεπτά περίπου.
Σε ένα μπολ διαλύουμε το αλεύρι στο νερό, ανακατεύοντας με το σύρμα μέχρι να δημιουργηθεί ένας αραιός χυλός. Προσθέτουμε λίγο από το ζεστό ζωμό στο χυλό ενώ ανακατεύουμε για να μη σβολιάσει. Ρίχνουμε τον αραιωμένο χυλό στην κατσαρόλα με τη σούπα και ανακατεύουμε προσεκτικά. Αφήνουμε να βράσει, σε χαμηλή φωτιά, μέχρι να δέσει η σούπα.
Προσθέτουμε τις φουντίτσες του μπρόκολου και σιγοβράζουμε, μέχρι να μαλακώσουν αλλά να «κρατάνε», περίπου 5 λεπτά. Τέλος, προσθέτουμε το τριμμένο τυρί και μαγειρεύουμε μέχρι να λιώσει. Δοκιμάζουμε και διορθώνουμε τη γεύση της με αλάτι και φρεσκοτριμμένο πιπέρι. Σερβίρουμε τη σούπα ζεστή προσθέτοντας σε κάθε πιάτο λίγο φρεσκοτριμμένο cheddar.
Recipe by Kouzinista at https://kouzinista.gr/2013/12/13/%cf%83%ce%bf%cf%8d%cf%80%ce%b1-%ce%bb%ce%b1%cf%87%ce%b1%ce%bd%ce%b9%ce%ba%cf%8e%ce%bd-%ce%bc%ce%b5-cheddar/